Phần dưới đây sẽ trình bày các ví dụ về vài phương trình đại số thường gặp

Phương trình tuyến tính với một biến số

Phương trình tuyến tính được gọi như vậy, bởi khi chúng được vẽ đồ thị, chúng sẽ thể hiện một đường thẳng (tuyến tính có nghĩa là đường thẳng). Phương trình đơn giản nhất là phương trình có một biến số. Chúng chỉ có các hằng số và một biến số duy nhất mà không có số mũ. Ví dụ, xem xét:

Bài toán: Nếu bạn tăng gấp đôi tuổi con trai tôi và cộng thêm 4, kết quả sẽ là 12. Vậy con trai tôi bao nhiêu tuổi?

Phương trình tương đương: 2 x + 4 = 12 {\displaystyle 2x+4=12} , trong đó x {\displaystyle x} là số tuổi của con trai tôi

Để giải dạng phương trình này, ta sử dụng kỹ thuật cộng, trừ, nhân, chia cả hai vế của phương trình với cùng một số nhằm tách ly biến số sang một bên của phương trình. Một khi biến số đã được tách biệt, vế còn lại của phương trình chính là giá trị của biến số.[23] Nghiệm của phương trình này là như sau:

1. Giải phương trình:	2 x + 4 = 12 {\displaystyle 2x+4=12}
2. Trừ 4 cho cả hai vế của phương trình:	2 x + 4 − 4 = 12 − 4 {\displaystyle 2x+4-4=12-4}
3. Rút gọn thành:	2 x = 8 {\displaystyle 2x=8}
4. Chia cả hai vế với 2:	2 x 2 = 8 2 {\displaystyle {\frac {2x}{2}}={\frac {8}{2}}}
5. Rút gọn để có được nghiệm:	x = 4 {\displaystyle x=4}

Dạng thức chung của phương trình tuyến tính với một biến số, có thể được viết là: a x + b = c {\displaystyle ax+b=c\,}

Cũng theo quy trình như vậy (trừ cho cả hai vế cho b {\displaystyle b} và chia cho a {\displaystyle a} ) đáp số của phương trình là x = c − b a {\displaystyle x={\frac {c-b}{a}}}

Phương trình tuyến tính với hai biến số

Một phương trình tuyến tính với hai biến số có nhiều (vô số) nghiệm. Ví dụ:

Bài toán: Tôi nhiều hơn con tôi 22 tuổi. Vậy chúng tôi bao nhiêu tuổi?

Phương trình tương đương: y = x + 22 {\displaystyle y=x+22} trong đó y {\displaystyle y} là tuổi của tôi và x {\displaystyle x} là tuổi của con trai tôi.

Một mình phương trình này không đủ để giải bài toán. Nếu ta biết tuổi của người con trai, thì phương trình sẽ không phải là phương trình có hai biến chưa biết giá trị nữa, và bài toán trở thành phương trình tuyến tính với một biến số.

Để giải phương trình tuyến tính hai biến số đòi hỏi phải có hai phương trình liên quan đến nhau. Ví dụ, nếu bài toán cũng cho biết rằng:

Bài toán:	Trong 10 năm tới, tuổi của tôi sẽ gấp đôi tuổi của con trai tôi.
Phương trình tương đương:	y + 10 = 2 × ( x + 10 ) {\displaystyle y+10=2\times (x+10)}
Trừ 10 cho cả hai vế:	y = 2 × ( x + 10 ) − 10 {\displaystyle y=2\times (x+10)-10}
Nhân với các số trong ngoặc:	y = 2 x + 20 − 10 {\displaystyle y=2x+20-10}
Rút gọn:	y = 2 x + 10 {\displaystyle y=2x+10}

Giờ ta có hai phương trình tuyến tính, mỗi phương trình có hai biến chưa biết, nó cho phép ta tạo ra một phương trình tuyến tính với một biến, bằng cách trừ một phương trình cho phương trình còn lại (gọi là phương pháp khử):[24]

Phương trình thứ hai	y = 2 x + 10 {\displaystyle y=2x+10}
Phương trình thứ nhất	y = x + 22 {\displaystyle y=x+22}
Lấy phương trình thứ hai trừ cho phương trình thứ nhất để khử y {\displaystyle y}	( y − y ) = ( 2 x − x ) + 10 − 22 {\displaystyle (y-y)=(2x-x)+10-22}
Rút gọn	0 = x − 12 {\displaystyle 0=x-12}
Cộng 12 cho cả hai vế	12 = x {\displaystyle 12=x}
Sắp đặt lại	x = 12 {\displaystyle x=12}

Nói cách khác, con trai tôi 12 tuổi, và tôi già hơn con trai tôi 22 tuổi. Vậy tuổi của tôi là 34. Trong 10 năm, con trai tôi sẽ là 22 tuổi và tuổi tôi sẽ gấp đôi tuổi con trai, là 44 tuổi.

Phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai là phương trình có một số hạng với số mũ là 2, ví dụ, x 2 {\displaystyle x^{2}} ,[25] và không có số hạng nào với số mũ cao hơn. Nhìn chung, phương trình bậc hai có thể biểu diễn dưới dạng a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} ,[26] trong đó a {\displaystyle a} khác không (nếu a bằng không thì đây là phương trình tuyến tính chứ không còn là bậc hai). Bởi vậy phương trình bậc hai phải chứa số hạng a x 2 {\displaystyle ax^{2}} , số hạng được biết đến là số hạng bậc hai. Do a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} , chúng ta có thể chia cho a {\displaystyle a} và sắp đặt lại phương trình thành dạng tiêu chuẩn.

x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{2}+px+q=0\,}

Trong đó p = b / a {\displaystyle p=b/a} và q = c / a {\displaystyle q=c/a} . Giải phương trình này, bằng một quá trình gọi là phần bù bình phương, sẽ dẫn đến công thức bậc hai

x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a , {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}

Trong đó, dấu "±" biểu thị rằng cả

x = − b + b 2 − 4 a c 2 a và x = − b − b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{và}}\quad x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

là nghiệm của phương trình bậc hai.

Phương trình bậc hai có thể giải bằng cách sử dụng phân tích nhân tử. Một ví dụ của phân tích nhân tử:

x 2 + 3 x − 10 = 0. {\displaystyle x^{2}+3x-10=0.\,}

Cũng tương đương với:

( x + 5 ) ( x − 2 ) = 0. {\displaystyle (x+5)(x-2)=0.\,}

Phương trình này tuân thủ theo đúng tính chất tích của không với cả x = 2 {\displaystyle x=2} hoặc x = − 5 {\displaystyle x=-5} là nghiệm của phương trình, bởi rõ ràng một trong hai nhân tử phải bằng không. Tất cả các phương trình bậc hai đều có hai nghiệm trong hệ số phức, nhưng không cần có nghiệm nào trong hệ số thực. Ví dụ,

x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0\,}

không có nghiệm số thực nào bởi không có số nào bình phương lại bằng −1.

Phương trình số mũ và phương trình lôgarit

Đồ thị của hàm logarit cơ số 2 cắt trục x (trục hoành) tại 1 và đi qua các điểm có tọa độ (2, 1), (4, 2), và (8, 3). Ví dụ, log2(8) = 3, bởi vì 23 = 8. Đồ thị tiệm cận gần với trụ y, nhưng không cắt nó.

Phương trình số mũ là phương trình có dạng a x = b {\displaystyle a^{x}=b} với a > 0 {\displaystyle a>0} ,[27] nghiệm của phương trình là

X = log a ⁡ b = ln ⁡ b ln ⁡ a {\displaystyle X=\log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a}}}

khi b > 0 {\displaystyle b>0} . Các kỹ thuật trong đại số sơ cấp được sử dụng để viết lại phương trình đã cho ở trên trước khi đi đến đáp số. Ví dụ nếu

3 ⋅ 2 x − 1 + 1 = 10 {\displaystyle 3\cdot 2^{x-1}+1=10}

thì trừ 1 cho cả hai vế của phương trình, rồi chia cả hai vế cho 3 chúng ta có

2 x − 1 = 3 {\displaystyle 2^{x-1}=3\,}

Do đó

x − 1 = log 2 ⁡ 3 {\displaystyle x-1=\log _{2}3\,}

Hoặc

x = log 2 ⁡ 3 + 1. {\displaystyle x=\log _{2}3+1.\,}

Phương trình lôgarit là phương trình dạng l o g a ( x ) = b {\displaystyle log_{a}(x)=b} với a > 0 {\displaystyle a>0} , trong đó nghiệm là

X = a b . {\displaystyle X=a^{b}.\,}

Ví dụ, nếu

4 log 5 ⁡ ( x − 3 ) − 2 = 6 {\displaystyle 4\log _{5}(x-3)-2=6\,}

thì ta cộng 2 cho cả hai vế của phương trình, sau đó là chia cho 4, chúng ta có

log 5 ⁡ ( x − 3 ) = 2 {\displaystyle \log _{5}(x-3)=2\,}

Do đó

x − 3 = 5 2 = 25 {\displaystyle x-3=5^{2}=25\,}

Từ đó ta rút ra được

x = 28. {\displaystyle x=28.\,}

Phương trình căn thức

Phương trình căn thức là phương trình có một dấu căn, x {\displaystyle {\sqrt {x}}} , bao gồm cả căn bậc ba, x 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}} và căn bậc n, x n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}} . Cần nhớ rằng căn bậc n có thể viết lại theo dạng số mũ, bởi thế x n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}} tương đương với x 1 n {\displaystyle x^{\frac {1}{n}}} . Kết hợp với số mũ bình thường, thì x 3 2 {\displaystyle {\sqrt[{2}]{x^{3}}}} (căn bậc hai của x lập phương) có thể viết lại thành x 3 2 {\displaystyle x^{\frac {3}{2}}} .[28] Vậy nên dạng thức chung của phương trình căn thức là a = x m n {\displaystyle a={\sqrt[{n}]{x^{m}}}} (tương đương với a = x m n {\displaystyle a=x^{\frac {m}{n}}} ) trong đó m {\displaystyle m} và n {\displaystyle n} là số nguyên, và có nghiệm là

m {\displaystyle m} là số lẻ	m {\displaystyle m} là số chẵn và a ≥ 0 {\displaystyle a\geq 0}
x = a n m {\displaystyle x={\sqrt[{m}]{a^{n}}}} hoặc     x = ( a m ) n {\displaystyle x=\left({\sqrt[{m}]{a}}\right)^{n}}	x = ± a n m {\displaystyle x=\pm {\sqrt[{m}]{a^{n}}}} hoặc     x = ± ( a m ) n {\displaystyle x=\pm \left({\sqrt[{m}]{a}}\right)^{n}}

Ví dụ, nếu

( x + 5 ) 2 / 3 = 4 , {\displaystyle (x+5)^{2/3}=4,\,}

thì

x + 5 = ± ( 4 ) 3 x + 5 = ± 8 x = − 5 ± 8 x = 3 , − 13 {\displaystyle {\begin{aligned}x+5&=\pm ({\sqrt {4}})^{3}\\x+5&=\pm 8\\x&=-5\pm 8\\x&=3,-13\end{aligned}}} .

Hệ phương trình tuyến tính

Có những phương pháp khác nhau để giải một hệ các phương trình tuyến tính với hai biến số

Phương pháp khử

Một ví dụ về giải phương trình tuyến tính với phương pháp khử

{ 4 x + 2 y = 14 2 x − y = 1. {\displaystyle {\begin{cases}4x+2y&=14\\2x-y&=1.\end{cases}}\,}

Nhân các số hạng của phương trình thứ hai cho 2

4 x + 2 y = 14 {\displaystyle 4x+2y=14\,} 4 x − 2 y = 2. {\displaystyle 4x-2y=2.\,}

Cộng hai phương trình lại ta có

8 x = 16 {\displaystyle 8x=16\,}

Rồi rút gọn

x = 2. {\displaystyle x=2.\,}

Khi ta đã biết x = 2 {\displaystyle x=2} thì ta có thể tìm ra y = 3 {\displaystyle y=3} bằng cách thay 2 cho x vào một trong hai phương trình đầu. Nghiệm của hai phương trình sẽ là

{ x = 2 y = 3. {\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}\,}

Chú ý rằng đây không phải là phương pháp duy nhất để giải hệ phương trình này; y {\displaystyle y} có thể được giải trước x {\displaystyle x} .

Phương pháp thay thế

Một cách khác để giải cùng một hệ phương trình tuyến tính là phương pháp thay thế

{ 4 x + 2 y = 14 2 x − y = 1. {\displaystyle {\begin{cases}4x+2y&=14\\2x-y&=1.\end{cases}}\,}

Ta có thể tìm y {\displaystyle y} bằng cách sử dụng một trong hai phương trình. Sử dụng phương trình thứ hai

2 x − y = 1 {\displaystyle 2x-y=1\,}

Trừ 2 x {\displaystyle 2x} cho hai vế của phương trình

2 x − 2 x − y = 1 − 2 x − y = 1 − 2 x {\displaystyle {\begin{aligned}2x-2x-y&=1-2x\\-y&=1-2x\end{aligned}}}

và nhân hai vế với -1:

y = 2 x − 1. {\displaystyle y=2x-1.\,}

Thay giá trị y {\displaystyle y} vào phương trình đầu tiên của hệ phương trình gốc:

4 x + 2 ( 2 x − 1 ) = 14 4 x + 4 x − 2 = 14 8 x − 2 = 14 {\displaystyle {\begin{aligned}4x+2(2x-1)&=14\\4x+4x-2&=14\\8x-2&=14\end{aligned}}}

Cộng 2 vào hai vế của phương trình:

8 x − 2 + 2 = 14 + 2 8 x = 16 {\displaystyle {\begin{aligned}8x-2+2&=14+2\\8x&=16\end{aligned}}}

Rút gọn thành

x = 2 {\displaystyle x=2\,}

Sử dụng giá trị này vào một trong hai phương trình, ta có thể đạt được nghiệm tương tự với phương pháp trước

{ x = 2 y = 3. {\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}\,}

Chú ý rằng đây không phải là phương pháp duy nhất để giải hệ phương trình này; y {\displaystyle y} có thể được giải trước x {\displaystyle x} .

Các dạng hệ phương trình tuyến tính khác

Hệ phương trình vô nghiệm

Trong ví dụ trên, ta có thể tìm ra đáp số. Tuy nhiên, có những hệ phương trình không có đáp số. Một ví dụ

{ x + y = 1 0 x + 0 y = 2 {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}x+y&=1\\0x+0y&=2\end{aligned}}\end{cases}}\,}

Phương trình thứ hai trong hệ phương trình không có đáp số. Vì thế, hệ phương trình này không giải được. Tuy nhiên, không phải hệ phương trình không đáp số nào cũng dễ nhận ra. Ví dụ như hệ phương trình dưới đây

{ 4 x + 2 y = 12 − 2 x − y = − 4 {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}4x+2y&=12\\-2x-y&=-4\end{aligned}}\end{cases}}\,}

Khi ta thử giải hệ phương trình này (dùng phương pháp thay thế như nêu ở trên), phương trình thứ hai, sau khi cộng vào cả hai vế và nhân với -1 ta có:

y = − 2 x + 4 {\displaystyle y=-2x+4\,}

Và thế giá trị vào phương trình đầu tiên

4 x + 2 ( − 2 x + 4 ) = 12 4 x − 4 x + 8 = 12 8 = 12 {\displaystyle {\begin{aligned}4x+2(-2x+4)&=12\\4x-4x+8&=12\\8&=12\end{aligned}}}

Kết quả là không còn lại biến số nào, và đẳng thức không đúng. Điều này có nghĩa là phương trình đầu tiên không thể đưa ra một đáp số với giá trị tìm được trong phương trình thứ hai

Hệ phương trình vô số nghiệm

Có những phương trình có vô số đáp án, khác với hệ phương trình chỉ có hai nghiệm (cặp giá trị x {\displaystyle x} và y {\displaystyle y} ). Ví dụ

{ 4 x + 2 y = 12 − 2 x − y = − 6 {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}4x+2y&=12\\-2x-y&=-6\end{aligned}}\end{cases}}\,}

Tách y {\displaystyle y} trong phương trình thứ hai

y = − 2 x + 6 {\displaystyle y=-2x+6\,}

Và thế giá trị này vào phương trình thứ nhất của hệ phương trình

4 x + 2 ( − 2 x + 6 ) = 12 4 x − 4 x + 12 = 12 12 = 12 {\displaystyle {\begin{aligned}4x+2(-2x+6)=12\\4x-4x+12=12\\12=12\end{aligned}}}

Đẳng thức thì đúng nhưng lại không đưa ra giá trị của x {\displaystyle x} . Thực ra, ta có thể dễ dàng nhận ra rằng (bằng cách điền vào giá trị x {\displaystyle x} ) với bất cứ x {\displaystyle x} nào ta cũng đều có đáp số miễn là y = − 2 x + 6 {\displaystyle y=-2x+6} . Vì thế phương trình này có vô số nghiệm

Mối quan hệ giữa tính giải được và tính bội của hệ phương trình

Cho bất cứ một hệ phương trình nào, luôn có mối quan hệ giữa tính bội và tính giải được của hệ phương trình

Nếu một phương trình là bội của phương trình còn lại, thì hệ phương trình tuyến tính là bất định, có nghĩa là hệ phương trình có vô số nghiệm. Ví dụ:

{ x + y = 2 2 x + 2 y = 4 {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}x+y&=2\\2x+2y&=4\end{aligned}}\end{cases}}}

có vô số nghiệm ví dụ như (1, 1), (0, 2), (1.8, 0.2), (4, −2), (−3000.75, 3002.75), và nhiều cặp nghiệm khác

Nhưng khi tính bội chỉ là thuộc một phần riêng (ví dụ vế bên trái của phương trình là bội, còn vế bên phải thì không hoặc không nhân với cùng một số) thì hệ phương trình đó không giải được. Ví dụ:

{ x + y = 2 4 x + 4 y = 1 {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}x+y&=2\\4x+4y&=1\end{aligned}}\end{cases}}}

Phương trình thứ hai đem tới kết quả x + y = 1 4 {\displaystyle x+y={\frac {1}{4}}} đối nghịch với phương trình thứ nhất. Khi giải một hệ phương trình tuyến tính, ta nên kiểm tra xem một phương trình có phải là bội của phương trình còn lại không. Nếu nó là bội của phương trình còn lại, hệ phương trình đó không xác định được một cách cụ thể. Nếu nó chỉ bội một phần, hệ phương trình không có lời giải.

Tuy nhiên, như đã chỉ ra trong các phần ở trên, điều này không có nghĩa là các phương trình phải là bội của nhau để có lời giải; nói cách khác, tính bội trong một hệ phương trình tuyến tính không phải là điều kiện cần thiết để có thể giải được phương trình.